El pelopódromo.

Vamos hoy a explicar un correo que anda circulando últimamente por la red. Se trata de una foto del Wasserstraßenkreuz de Magdeburgo (”cruz de calles de agua”, en alemán), cerca de Berlín. Al final del correo, una pregunta para ingenieros: ¿la estructura del puente está calculada para soportar el peso del agua, o del agua y los barcos que circulan por ella?

La isla de Sicilia, aparte de tener un pez espada y unos postres de requesón dulce estupendos, ha sido un manantial inagotable de cabezas muy pensantes a lo largo de los siglos. En el tercero antes de Cristo nació en Siracusa Arquímedes, cuyo principio es bien conocido por estudiantes de física y aficionados a Les Luthiers:

“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado.”

Antes de continuar, un par fórmulas imprescindibles: el peso (fuerza que ejerce un cuerpo en reposo contra la fuerza normal ejercida por el apoyo) es igual a la masa por la gravedad. La masa, a su vez, es igual a la densidad por el volumen. De este modo, aplicando Arquímedes, tenemos que la fuerza que experimenta hacia arriba el cuerpo sumergido es:

Observamos que cuando la densidad del sólido es mayor que la densidad del fluido la resultante es negativa y el sólido se hundirá (el empuje hidrostático no es suficiente para soportar el peso del sólido). En realidad, sólo con el enunciado del principio tenemos suficiente para aclarar la estructura: al empuje hacia arriba igual al peso del volumen de agua desalojada, la estructura recibe un peso mientras el barco se encuentra sobre ella igual al peso del que se ve liberada tras ser evacuado el fluído: la estructura necesita sólo ser calculada para soportar esa cantidad de agua.

Pero vamos a ahondar un poco más en el tema. Cuando un barco flota en el agua, las fuerzas que experimentan (y que se equilibran) son:

mg=ρ_fh·Ag

Siendo h la altura de la poción sumergida y A la superficie inferior del sólido (con respecto a la ecuación superior hemos hecho V= h·A) y mg el peso del barco, que podemos reescribir como ρ_sVg para verlo más claro. El volumen del barco no es igual al volumen de líquido desalojado. Las fuerzas (su masa pues la gravedad es constante) sí lo son: la porción sumergida multiplicado por la densidad del fluído es igual a la masa del barco:

ρ_sV=ρ_fh·A

Cuando ρ_s<ρ_f tenemos que V>h·A, por lo que una parte del volumen del sólido sobresaldrá (el barco flota). La quilla y la parte sumergida del casco desplazan su volumen en fluído (aunque este volumen de sólido sumergido pesará menos). De este modo, conociendo el peso de un sólido, podremos saber cuánto se hundirá en el agua de antemano si conocemos su area de apoyo sobre la superficie del fluido, o podremos saber qué area necesitamos apoyar si queremos que se hunda hasta una determinada profundidad.

Esta fórmula explica por qué una colchoneta de agua colocada horizontalmente se hunde menos que si la colocamos verticalmente (pues el area apoyada es menor, aunque la densidad y su peso sean los mismos).