El pelopódromo

Vamos ahora a revisar nuestro post “Por qué flotan los barcos” de una manera menos técnica, con palabras.

Recordemos del post anterior, que, según Arquímedes, las fuerzas de un sólido flotando en equilibrio en un líquido son iguales. ¿Qué pasaría si botásemos un transatlántico de 1 tonelada de peso y un pequeño barco pesquero de 1 tonelada de peso? ¿Desplazarían la misma cantidad de agua?

Fijémonos bien: su masa es la misma. Su peso, por lo tanto, también. La fuerza que ejerce el barco contra el agua (y que por Arquímedes es la misma que experimenta de abajo arriba) es la misma en los dos casos. El peso del volumen del líquido desalojado es por lo tanto el mismo. ¿Desplazan la misma cantidad de agua? Sí. ¿El mismo volumen? Sí. ¿Tienen ambos barcos el mismo volumen? No. ¿Entonces deben desplazan volumenes de agua diferentes? No, no, NO.

La única razón que existe para que dos cuerpos de distinto volumen pesen lo mismo (aparte de colocar al más pesado globitos de helio) es que su densidad sea distinta. Un transatlántico que pese lo mismo que un pesquero tendrá irremisiblemente una densidad menor. Tendrá una superficie de apoyo sobre el agua mayor. Se hundirá mucho menos en el agua. La porción sumergida de ambos barcos será la misma porque las fuerzas que ejercen son iguales.

Recordad esto: las fuerzas ejercidas por el fluído y el barco flotante son iguales. No importa su volumen.

Volviendo a nuestro puente alemán, al ingeniero que lo diseña no debe preocuparle si por encima del agua pasa un barco de 500 kg. o 3 toneladas: se desplaza esta misma cantidad de agua y la estructura no recibe un peso mayor. Eso sí, quizás el calado del barco sea excesivo para el caudal del puente y aquél encalle.

Esto del caudal me recuerda a los vikingos intentando conquistar la península: después de recibir unos cuantos palos en Galicia, bajaron hasta el sur. Sus embarcaciones (los Drakkar) eran muy ligeras, podían navegar ríos (pues tenían un calado reducido). Así subieron por el Guadalquivir por donde llegaron hasta Sevilla. Gracias al dominio de Arquímedes por los ingenieron navales vikingos, Hispalis pudo ser saqueada a su antojo.

Vamos hoy a explicar un correo que anda circulando últimamente por la red. Se trata de una foto del Wasserstraßenkreuz de Magdeburgo (”cruz de calles de agua”, en alemán), cerca de Berlín. Al final del correo, una pregunta para ingenieros: ¿la estructura del puente está calculada para soportar el peso del agua, o del agua y los barcos que circulan por ella?

La isla de Sicilia, aparte de tener un pez espada y unos postres de requesón dulce estupendos, ha sido un manantial inagotable de cabezas muy pensantes a lo largo de los siglos. En el tercero antes de Cristo nació en Siracusa Arquímedes, cuyo principio es bien conocido por estudiantes de física y aficionados a Les Luthiers:

“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado.”

Antes de continuar, un par fórmulas imprescindibles: el peso (fuerza que ejerce un cuerpo en reposo contra la fuerza normal ejercida por el apoyo) es igual a la masa por la gravedad. La masa, a su vez, es igual a la densidad por el volumen. De este modo, aplicando Arquímedes, tenemos que la fuerza que experimenta hacia arriba el cuerpo sumergido es:

Observamos que cuando la densidad del sólido es mayor que la densidad del fluido la resultante es negativa y el sólido se hundirá (el empuje hidrostático no es suficiente para soportar el peso del sólido). En realidad, sólo con el enunciado del principio tenemos suficiente para aclarar la estructura: al empuje hacia arriba igual al peso del volumen de agua desalojada, la estructura recibe un peso mientras el barco se encuentra sobre ella igual al peso del que se ve liberada tras ser evacuado el fluído: la estructura necesita sólo ser calculada para soportar esa cantidad de agua.

Pero vamos a ahondar un poco más en el tema. Cuando un barco flota en el agua, las fuerzas que experimentan (y que se equilibran) son:

mg=ρ_fh·Ag

Siendo h la altura de la poción sumergida y A la superficie inferior del sólido (con respecto a la ecuación superior hemos hecho V= h·A) y mg el peso del barco, que podemos reescribir como ρ_sVg para verlo más claro. El volumen del barco no es igual al volumen de líquido desalojado. Las fuerzas (su masa pues la gravedad es constante) sí lo son: la porción sumergida multiplicado por la densidad del fluído es igual a la masa del barco:

ρ_sV=ρ_fh·A

Cuando ρ_s<ρ_f tenemos que V>h·A, por lo que una parte del volumen del sólido sobresaldrá (el barco flota). La quilla y la parte sumergida del casco desplazan su volumen en fluído (aunque este volumen de sólido sumergido pesará menos). De este modo, conociendo el peso de un sólido, podremos saber cuánto se hundirá en el agua de antemano si conocemos su area de apoyo sobre la superficie del fluido, o podremos saber qué area necesitamos apoyar si queremos que se hunda hasta una determinada profundidad.

Esta fórmula explica por qué una colchoneta de agua colocada horizontalmente se hunde menos que si la colocamos verticalmente (pues el area apoyada es menor, aunque la densidad y su peso sean los mismos).